因式分解的真正含义和方法

分解为因数(分解)

因式分解是指将聚合分解成P的形式。,它是中学数学中最重要的相同变换之一。,它广泛应用于初等数学中。,它是解决许多数学问题的有力工具。,技巧性强,学习这些方法和技巧,不仅要掌握因式分解的内容。,培养学生解决问题的能力。,培养学生的思维能力,他们都扮演着非常独特的角色。飞鸟二世高中数学教材M、运用公式法、分组分解和交叉乘法。,也有拆解和添加方法。,待定系数法,双交叉乘法,旋转对称法等。

提高公众因素的方法
①公因数:所有包含的共同因素称为POL的共同因素。。

提高公共因素的方法:大众地,设想聚合具有公共因子,你可以参考括号外的这个共同的因素。,聚合是作为因子的结果而写成的。,这种因式分解的方法称为提高公共因子的方法。。

am+bm+cm=m(a+b+c)

三。具体方法:当所有系数都是整数时,公共因子的系数应取最大公约数;字母表取相同的字母表。,字母索引最低。 设想聚合的最初的项是负的,平均来讲,-字是必需的。,括号中最初的项的系数是正的。

用公式法

①平方差:. a^2-b^2=(a+b)(a-b)

②完全平方公式: a^2±2ab+b^2=(a±b)^2

可利用完全平方公式分解FAC的聚合,它们中的两个可以被写为两个数的平方和(或形式)。,另一个是这两个数字的结果的2倍。

立方和公式:a^3+b^3= (a+b)(a^2-ab+b^2).

三次差分公式:a^3-b^3= (A—B)(a^2+ab+b^2).

4完全立方公式: a^3±3a^2b+3ab^2±b^3=(a±b)^3

⑤a^n-b^n=(A—B)[a^(n-1)+a^(n-2)b+……+b^(n-2)a+b^(n-1)]

a^m+b^m=(a+b)[a^(m-1)-a^(m-2)b+……-b^(m-2)a+b^(m-1)](m为奇数)

群分解法

群分解法:聚合的分组,然后对这些因素进行分解。

群分解法必须有明确目的,分组后,它可以直接提高公共因素或使用公式。

⑷增加发行、补项法

增加发行、补项法:分解或填入两个聚合项(或几个),原来的公式适用于公共因子法。、运用公式法或群分解法进行分解;要在意,它必须以与原聚合相同的原理变形。

⑸叉乘法

①x^2+(p Q型X PQ公式的因式分解

这两个和三个事件的特点是:这两个项的系数是1。;常数项是两个数的结果。;一个项的系数是一个常数项的两个因子之和。,可以直接将某些这两个项的系数是1。的二次三项式因式分解: x^2+(p q)x+pq=(x+p)(x+q)

Kx^ 2+Mx n型公式的因式分解

设想它可以分解成k= ac,n=bd,以及AD BC= M 时,这么

kx^2+mx+n=(ax b)(CX) d)

a \—–/b ac=k bd=n

c /—–\d ad+bc=m

※ 聚合因式分解的一般步骤:

①设想聚合具有公共因子,最初的,提高共同因素。;

2。设想没有共同的因素,然后尝试使用公式。、交叉乘法分解;

设想上述方法不能分解。,然后你可以尝试分组。、增加发行、分解补法;

因数分解,每个聚合因子必须分解。。

(6)应用因子定理:设想f(a)=0,f(x)必须包含一个因子(X-A)。如f(x)=x^2+5x+6,f(-2)=0,可以确定(x+2)是x^ 2+5x+6的一个因子。。

经典情况:

1.因数分解(1+y)^2-2x^2(1+y^2)+x^4(1-y)^2

解:原式=(1+y)^2+2(1+y)x^2(1+y)+x^4(1-y)^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)

=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)

=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-(2x)^2

=[(1+y)+x^2(1-y)+2x]·[(1+y)+x^2(1-y)-2x]

=(x^2-x^2y+2x+y+1)(x^2-x^2y-2x+y+1)

=[(x+1)^2-y(x^2-1)][(x-1)^2-y(x^2-1)]

=(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)

2。证明患有精神病:大约任意数量的x,y,下面公式精选的将不为33。

x^5+3x^4y-5x^3y^2+4xy^4+12y^5

解:原式=(x^5+3x^4y)-(5x^3y^2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5)

=x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y)

=(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4)

=(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2)

=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)

当y=0时,原始= x^ 5不如33。;当y不如0时,x+3y,x+y,x-y,x+2y,X-2Y是不同的。,而33不能分为四种以上产品的不同因素。,原来的命题成立了。
分解的十二种方法
将聚合转化为若干积分积形式,这种变换称为聚合的因式分解。。因式分解的方法多种多样,下面总结如下。:
1、 提高公众的法律
设想一个聚合包含所有的公共因子,,然后我们可以提高这个共同的因素。,这样,聚合被形成为两个阶结果。。
例1、 因数分解x^3 -2x^2 X(2003淮安期中考试)
x^3 -2x^2 -x=x(x^2 -2x-1)
2、 应用公式法
因式分解与整数多重数之间存在相互关系。,设想乘法公式颠倒,它可以用来分解某些聚合的因式分解。。
例2、因式分解^2 +4ab+4b^2 (2003期南通期中考试)
解:a^2 +4ab+4b^2 =(a+2b)
3、 群分解法
聚合AM AN BM BN的因式分解必须因式分解。,你可以先把前两项分成一组。,并提出了共同的因素A。,把最初两项分成一组。,并提出了共同的因素B。,我们可以得到(m n) b(m n),有能够提出一个公共因子M N。,这样我们就可以得到(a b)(m n)
例3、因数分解m^2 +5n-mn-5m
解:m^2+5n-mn-5m= m^2-5m -mn+5n
= (m^2 -5m )+(-mn+5n)
=m(m-5)-n(m-5)
=(m-5)(m-n)
4、 叉乘法
大约mx^2 PX Q形式的聚合,设想xb= m,c×d=q且ac+bd=p,聚合可以分解为(AX D)(BX C)
例4、因数分解7x^2 -19x-6
辨析:
1 -3
7 2
2-21=-19
解:7x^2 -19x-6=(7x+2)(x-3)
5、配方法
大约不能使用公式法的聚合,一些可以用来形成一个完整的正方形。,然后采用平方差。,我们可以分解它的分解。。
例5、因数分解x^2 +3x-40
X^ 2解 +3x-40
=x^2+3x+2.25-42.25
=(x+)^2-()^2
=(x+8)(x-5)
6、拆、添项法
你可以把聚合分割成部分。,然后进行分解为因数。。
例6、因式分解BC(B C) CA(C-A)-AB(A B)
解:bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)
BC(C-A) Ca(C-A) BC(A B)-Ab(A B)
C(C-A)(B A) B(A B)(C-A)
=(c+b)(c-a)(a+b)
7、 代入法
有时当分解为因数被分解时,您可以选择聚合的同一部分来替换另一个unkn。,然后进行分解为因数。,最初,切换回来。。
例7、因数分解2x^4 -x^3 -6x^2 -x+2

8、 求根法
阶聚合f(x)=0,根是X1。 ,x2 ,x3 ,……xn ,聚合可以分解成F(x)=(X-X1)。 )(x-x2 )(x-x3 )……(x-xn )
例8、因数分解2x^4 +7x^3 -2x^2 -13x+6
解:令f(x)=2x^4 +7x^3 -2x^2 -13x+6=0
通过综合划分,我们可以看到,F(x)=0的根为1/2。 ,-3,-2,1
则2x^4 +7x^3 -2x^2 -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)
9、 图像法
使y=f(x),行使职责y=f(x)second 秒,找到行使职责图像与x轴的交点x1 ,x2 ,x3 ,……xn ,聚合可以分解成f(x)。 f(x)=(x-x1 )(x-x2 )(x-x3 )……(x-xn )
例9、因式分解x^3 +2x^2 -5x-6
解:Y阶 x^3 +2x^2 -5x-6
使其形象,与X轴的交点为-3。,-1,2
则x^3 +2x^2 -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)
10、 主元法
率先选择一个字母作为主要元素。,然后从高到低排列字母数字。,再次保理。
例10、因式分解 (B-C) B (C-A) C (A—B)
辨析:本主题可以选择A作为主要元素。,把它们从高到低排列起来。
解:a (B-C) B (C-A) C (A—B)=a (B-C)-A(B) -c )+(b c-c b)
(B-C) [a A(B C) BC]
(B-C)(A—B)(a-c)
11、 特殊值法
X废除2或10,找出P的个数,质量因子的数分解,质量因素的适当组合,组合后的每一个因子都是以和或差的形式写成的。,回复2或10至x,即得因式分解式。
例11、因数分解x^3 +9x^2 +23x+15
解:令x=2,则x^3 +9x^2 +23x+15=8+36+46+15=105
素数因子的105结果分解为3结果,这是105=3×5×7。
在意,聚合中最高项的系数是1。,而3、5、7×1。,x+3,x+5,x=2精选的
则x^3 +9x^2 +23x+15能够=(x+1)(x+3)(x+5) ,经过核实,这是事实。。
12、待定系数法
率先,确定保理的形式。,然后设置相应整数的字母系数。,求出字母系数,这样,聚合的分解可以分解。。
例12、因数分解x^4 -x^3 -5x^2 -6x-4
辨析:Yi的聚合没有单一的因素。,这样,它只能分解为22个因素。。
解:设x^4 -x^3 -5x^2 -6x-4=(x^2 +ax+b)(x^2 +cx+d)
= x^4 +(a+c)x^3 +(ac+b+d)x^2 +(ad+bc)x+bd
因而 解得
则x^4 -x^3 -5x^2 -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4)
初学者分解的四个在意事项
九年制义务教育三年首次出现因式分解,初中第二学期的教学,但其内容贯穿于整个中学数学教材。。学会它,你可以回顾最初的年的四个算术运算。,为下一章奠定了良好的基础。;学好它,它能培养学生的观察力。、在意、运算能力,它还可以提高学生的综合辨析和问题能力。。其中四个,教师和学生都必须高度重视它。。

分解为因数中的四条通告散布在第五页和第十五页上。,它可以归纳为四句话如下。:最初的项是否定的。,所有的公共率先提到公共。,提案丢失1,括号分为底部。。几个情况,说明如下,供参考。

例1 A2-B2 2Ab 4的因式分解。

解:-a2-b2+2ab+4=-(a2-2ab+b2-4)=-(a-b+2)(a-b-2)

这里是阴性。,不利。。设想聚合的最初的项是负的,通常需要一个不利。,括号中的最初的个系数是正的。。防止学生出现诸如-9×2+4y2=(-3x)2-(2y)2=(-3x+2y)(-3x-2y)=(3x-2y)(3x+2y)过失?
如例2 作业成本法的三边A、b、C有以下公式:-c2+a2+2ab-2bc=0,三角形是等腰三角形。。

辨析:这个问题本质上是左SI上聚合的因式分解。。

证明患有精神病:∵-c2+a2+2ab-2bc=0,∴(a+c)(a-c)+2b(a-c)=0,∴(a-c)(a+2b+c)=0.

又∵a、b、C是三角洲ABC的三边。,∴a+2b+c>0,∴a-c=0,

换句话说,A= C,ABC是等腰三角形。。

情况3分解-12x2yNn 18xn 2yn 1-6xnn-1。解:-12x2nyn+18xn+2yn+1-6xnyn-1=-6xnyn-1(2xny-3x2y2+1)

这里的锣指的是共同因素。。设想所有聚合包含公共因子,然后率先提取公共因子。,进一步分解;这是1。,这意味着一个完整的聚合是一个共同的因素。,在提出这个共同的因素之后,,不要把1放在括号里。。防止学生出现诸如6p(x-1)3-8p2(x-1)2+2p(1-x)2=2p(x-1)2[3(x-1)-4p]=2p(x-1)2(3x-4p-3)过失。

例4 X4-5X2-6在实数范围内的因式分解。

解:x4-5×2-6=(x2+1)(x2-6)=(x2+1)(x+6)(x-6)

这是底部。,指数分解,每个聚合因子必须分解。。即分解到底,不要半途而废。。包括提及公共因素一次应该是干净的。,没有尾巴留下。,这样括号内的每个聚合都不能分解。。防止学生出现诸如4x4y2-5x2y2-9y2=y2(4×4-5×2-9)=y2(x2+1)(4×2-9)过失。

由此看来,分解为因数中的四个通告贯穿于FISSIZ的四种基本方法,与因式分解的四个步骤或说一般思考顺序的四句话:让我们看看是否有一个共同的因素。,让我们看看我们是否可以设置公式。,尝试交叉乘法,分组分解应适当同根。。

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